进制转换百科：一套公式讲清所有进制怎么换

所有进制都遵循同一个数学结构。设基数为 b，一个 n 位数从右往左第 i 位（i 从 0 开始）的数字是 dᵢ，则它对应的十进制值为：

举个跨进制的例子验证一下。三十六进制的 ZZ（Z 代表 35）：Z×36 + Z = 35×36 + 35 = 1295。再比如十二进制的 1B（B 代表 11）：1×12 + 11 = 23。公式不需要记忆变形，任何基数都直接套用，这也是它比背「二进制怎么转、八进制怎么转」更划算的原因——一张公式卡走遍所有进制。

反过来，十进制转基数为 b 的进制用「除 b 取余」：不断除以 b、记下余数，直到商为 0，再把余数倒序排列。两者一个负责「读出」，一个负责「写出」，合起来就是进制换算的全部。想随时验算，用本页顶部的任意进制换算器即可，它支持 2 到 36 的全部基数。

为什么是「满 b 进一」

基数的含义是「这一位集满多少个一就向高位进位」。十进制数到 9 之后再加 1，个位没有新符号可用，只能清零并给十位加 1；二进制数到 1 之后再加 1，同理清零进位变成 10。基数越小，符号越少但位数越长；基数越大，表达越紧凑但需要更多符号——十六进制为此引入了字母，三十六进制干脆用尽 26 个字母。

捷径一：二进制 ↔ 十六进制，4 位一组

2⁴ = 16，二进制每 4 位对应 1 位十六进制。二转十六从右往左分组、补零、查表；十六转二进制则每个字符直接展开成 4 位。这是所有捷径里使用频率最高的一条，调试内存、看十六进制转储文件都靠它。详细示例见二进制转换页。

捷径二：二进制 ↔ 八进制，3 位一组

2³ = 8，道理相同，只是每组变成 3 位。例如二进制 1111101 分组 001 / 111 / 101，即八进制 175。Linux 文件权限就是这条捷径的日常应用，见八进制转换页的 755 实例。

捷径三：八进制 ↔ 十六进制，借道二进制

八进制和十六进制之间没有直接的分组关系（3 和 4 没有公倍数意义上的对应），最快路径是先展开成二进制再重新分组：八进制 175 → 001111101 → 0111 1101 → 0x7D。整个转换只是查表和分组，不需要乘除。

捷径四：任何进制 → 十进制 → 任何进制

遇到不熟悉的基数（比如五进制、十二进制），最稳妥的方法永远是「两段式」：先用位权展开折算成十进制，再用除基取余写出目标进制。位数不多时手算完全可行，位数多或数值大时交给转换器，逐位运算不会出错。

负数与补码

计算机里没有单独的减法电路，负数统一用补码（Two's Complement）表示：正数的补码是它本身；负数的补码 = 对应正数按位取反后整体加 1。以 8 位为例，+45 是 00101101，取反得 11010010，加 1 得 11010011，这就是 -45。补码的妙处在于加法器可以直接做减法：45 + (-45) 按位相加恰好得到 1 00000000，舍去溢出的最高位后正好是 0。也因为最高位被当作符号位，8 位有符号数的范围是 -128 到 +127，而不是 0 到 255。

换算负数时务必先确认位宽：同一个 -45，8 位补码是 11010011，16 位补码则是 1111111111010011，两者完全不同。这是进制转换里最容易踩的坑。

小数转换：乘基取整

整数部分「除基取余」，小数部分方向相反——「乘基取整」：每次把小数部分乘以基数，取走整数部分作为一位，再对剩下的纯小数重复，直到小数部分归零或达到所需精度。例如 0.8125 转二进制：0.8125×2=1.625 取 1，0.625×2=1.25 取 1，0.25×2=0.5 取 0，0.5×2=1.0 取 1，得 0.1101。

要特别留意：许多十进制小数在其他进制下是无限循环小数。0.1 的二进制是 0.0001100110011…循环，无法被有限位精确表示，因此浮点数天生带着舍入误差。这也解释了为什么金融类程序宁可把金额存成「分」（整数）也不存小数。

任意进制与生活实例

进制不只活在计算机里：时间计数是六十进制（60 秒进 1 分）、角度也用六十进制的分秒；十二进制藏在「一打」里；短链接服务把自增 ID 转成 62 进制（0-9、a-z、A-Z）来缩短网址；早期的 IP 选项、部分序列号体系用到三十六进制。看懂位权公式后，这些「奇怪进制」都只是符号表不同的普通进位计数制而已。